Цель работы

Показать, как строится математическая модель, позволяющая выбрать рациональную стратегию поиска и преследования.

Сценарий: в условиях тумана катер береговой охраны ведёт погоню за лодкой браконьеров. На короткое время видимость улучшается, и лодку удаётся зафиксировать на расстоянии \(k\) км от катера. Затем туман снова скрывает лодку; она продолжает двигаться прямолинейно в неизвестном направлении. Известно, что скорость катера в \(n\) раз больше скорости лодки. Требуется определить траекторию катера, обеспечивающую перехват.

Задание

1. Выполнить вывод и обосновать систему дифференциальных уравнений для случая \(v_{\text{катер}} = n\,v_{\text{лодка}}\).
2. Построить траектории катера и лодки для двух вариантов начальных условий.
3. По графику найти точку пересечения траекторий (момент перехвата).

Начальные обозначения и координаты

Положим \(t_0 = 0\).

В момент обнаружения:

• лодка находится в точке \(X_0 = 0\),
• катер расположен на расстоянии \(k\): \(X_0 = k\) относительно лодки.

Переходим к полярным координатам:

• полюс — точка обнаружения лодки,
• ось \(r\) направлена через начальное положение катера.

Дистанция перехода к «обходу» полюса

Требуется найти расстояние \(x\), при котором катер и лодка окажутся на одном и том же радиусе относительно полюса.

За время \(t\) лодка проходит путь \(x\), а катер — \(x-k\) либо \(x+k\) (в зависимости от взаимного расположения катера и полюса в начальный момент).

Разложение скорости катера и система ОДУ

Из условия равенства времен движения получаются два режима начальных данных:

• case = plus: \[ x_1=\frac{k}{n+1}, \quad \theta_0=0 \]
• case = minus: \[ x_2=\frac{k}{n-1}, \quad \theta_0=-\pi \]

Далее движение катера рассматривается как комбинация радиальной и тангенциальной компонент, что приводит к системе ОДУ в полярных координатах.

Уравнение траектории катера

Исключая \(t\), приходим к уравнению: \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]

Отсюда следует качественный вывод: траектория катера в полярной системе имеет вид экспоненциально расходящейся спирали.

Условие задачи для расчётов

Параметры:

• расстояние обнаружения: \(k=20\) км,
• преимущество в скорости: \(n=5\).

Цель: построить траектории катера и лодки и определить момент перехвата как пересечение кривых.

Базовый эксперимент: case = plus

Базовый эксперимент: case = plus

Наблюдаемая картина:

• траектория катера — расходящаяся спираль;
• радиус \(r\) возрастает при увеличении угла \(\theta\);
• траектория лодки в полярных координатах выглядит как луч (прямая в декартовой системе).

Базовый эксперимент: case = minus

Базовый эксперимент: case = minus

Ключевые отличия от case=plus:

• начальный радиус больше, поэтому спираль «сдвинута» наружу;
• форма траектории не меняется, меняется лишь масштаб.

Сканирование по параметру \(n\)

Сканирование по параметру \(n\)

Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] видно, что коэффициент роста по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\). Следовательно:

• при малых \(n\) спираль «раскручивается» быстрее;
• при больших \(n\) рост радиуса замедляется;
• траектории становятся более плавными (менее крутыми).

Метрика scale_ratio

Введём показатель: \[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]

Метрика scale_ratio

Метрика scale_ratio

Смысл результатов:

• при небольших \(n\) метрика заметно больше 1 — катер существенно превосходит лодку по радиальному «масштабу» траектории;
• при росте \(n\) значение быстро уменьшается;
• при больших \(n\) масштабы траекторий становятся близкими.

Для режима case=minus значения выше, поскольку стартовый радиус больше.

Время вычислений

Время вычислений

Итоги бенчмаркинга:

• время расчёта порядка \(\sim 6\times10^{-4}\) сек;
• выраженной зависимости от \(n\) не видно;
• небольшие колебания объясняются адаптивным шагом интегрирования.

Выводы

1. Траектория катера в полярных координатах описывается экспоненциально расходящейся спиралью.
2. Параметр \(n\) задаёт интенсивность радиального роста: чем больше \(n\), тем медленнее увеличивается \(r\) при росте \(\theta\).
3. Режим начальных условий (case) определяет масштаб траектории, не меняя её качественного типа.
4. Численное решение демонстрирует устойчивость, а вычислительные затраты слабо зависят от \(n\).