Лабораторная работа № 2
2026-02-24
Показать, как строится математическая модель, позволяющая выбрать рациональную стратегию поиска и преследования.
Сценарий: в условиях тумана катер береговой охраны ведёт погоню за лодкой браконьеров. На короткое время видимость улучшается, и лодку удаётся зафиксировать на расстоянии \(k\) км от катера. Затем туман снова скрывает лодку; она продолжает двигаться прямолинейно в неизвестном направлении. Известно, что скорость катера в \(n\) раз больше скорости лодки. Требуется определить траекторию катера, обеспечивающую перехват.
Положим \(t_0 = 0\).
В момент обнаружения:
Переходим к полярным координатам:
Требуется найти расстояние \(x\), при котором катер и лодка окажутся на одном и том же радиусе относительно полюса.
За время \(t\) лодка проходит путь \(x\), а катер — \(x-k\) либо \(x+k\) (в зависимости от взаимного расположения катера и полюса в начальный момент).
Из условия равенства времен движения получаются два режима начальных данных:
Далее движение катера рассматривается как комбинация радиальной и тангенциальной компонент, что приводит к системе ОДУ в полярных координатах.
Исключая \(t\), приходим к уравнению: \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}}. \]
Отсюда следует качественный вывод: траектория катера в полярной системе имеет вид экспоненциально расходящейся спирали.
Параметры:
Цель: построить траектории катера и лодки и определить момент перехвата как пересечение кривых.
Наблюдаемая картина:
Ключевые отличия от case=plus:
Из уравнения \[ \frac{dr}{d\theta}=\frac{r}{\sqrt{n^2-1}} \] видно, что коэффициент роста по углу равен \(1/\sqrt{n^2-1}\). Следовательно:
Введём показатель: \[ \text{scale\_ratio}=\frac{r_{\text{final}}}{\max(r_{\text{boat}})}. \]
Смысл результатов:
Для режима case=minus значения выше, поскольку стартовый радиус больше.
Итоги бенчмаркинга: